Pitagoras i odcinki w układzie współrzędnych — kartkówka, klasa 8

Q: Jak obliczyć wysokość trójkąta równobocznego?

Z twierdzenia Pitagorasa dla połowy trójkąta: h = \fraca\sqrt32.

Ta kartkówka łączy twierdzenie Pitagorasa z układem współrzędnych. Uczeń oblicza przekątną kwadratu i wysokość trójkąta równobocznego, długość odcinka o danych końcach i współrzędne jego środka. Rozstrzyga też, czy trójkąt jest prostokątny.

Pobierz grupę A za darmo Grupy B–E z kluczem

Grupa A: PDF do druku za darmo. Grupy B–E z kluczem odpowiedzi są w sklepie Nie każ mu liczyć!

Pierwsza strona grupy A

Co jest w tej kartkówce

obliczanie przekątnej kwadratu i wysokości trójkąta równobocznego oraz zadania odwrotne
wykorzystanie zależności w trójkącie o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$
obliczanie długości odcinka o danych końcach w układzie współrzędnych
wyznaczanie współrzędnych środka odcinka i końca odcinka, gdy dany jest środek
rozstrzyganie, czy trójkąt jest prostokątny, za pomocą twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa

Jak się przygotować

Dla ucznia i rodzica

Zacznij od przypomnienia wzoru $a^2 + b^2 = c^2$ i sprawdź go na trójkącie o bokach 3, 4, 5. Potem pokażcie, że odległość dwóch punktów w układzie to przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych równych różnicom współrzędnych. Środek odcinka liczcie jako średnie współrzędnych. Zależności w trójkącie $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ zapiszcie na rysunku z połowy trójkąta równobocznego. Twierdzenie odwrotne sprawdzajcie, porównując kwadrat najdłuższego boku z sumą kwadratów pozostałych.

Typowe błędy

Dodanie długości boków zamiast ich kwadratów: $c = a + b$.

Dodaj kwadraty: $c^2 = a^2 + b^2$, a potem wyciągnij pierwiastek.
Zapis odległości punktów jako różnicy współrzędnych w jednej osi.

Użyj obu różnic: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
Środek odcinka liczony jako różnica współrzędnych.

Środek to średnia: $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.
Uznanie trójkąta za prostokątny, bo suma dowolnych dwóch kwadratów boków jest równa kwadratowi trzeciego.

Sprawdzaj najdłuższy bok: tylko jego kwadrat powinien równać się sumie pozostałych.